Question

已知f（x）=log₂

x+1

x-1

；
（1）求f（x）的定义域和值域；
（2）判断f（x）的奇偶性并证明．

Answer 1

考点：函数奇偶性的判断

专题：函数的性质及应用

分析：（1）根据对数函数的性质即可求f（x）的定义域和值域；
（2）根据函数奇偶性的定义进行判断即可．

解答： 解：（1）由题可得：

x+1

x-1

＞0，解得：x＜-1，或x＞1；
所以定义域为（-∞，-1）∪（1，+∞），
设u=

x+1

x-1

=1+

2

x-1

，当x∈（-∞，-1）∪（1，+∞）时，u∈（0，1）∪（1，+∞），
∴y=log₂u∈（-∞，0）∪（0，+∞），
∴f（x）值域为（-∞，0）∪（0，+∞）．
（2）f（x）的定义域关于原点对称；
f(x)+f(-x)=log2

x+1

x-1

+log2

-x+1

-x-1

=log2

x+1

x-1

+log2

x-1

x+1

=log2(

x+1

x-1

•

x-1

x+1

)=log21=0，
∴f（-x）=-f（x），
∴f（x）为奇函数．

点评：本题主要考查函数定义域值域和奇偶性的判断，根据相应的定义是解决本题的关键．