Question

已知函数f（x）=2x²-3x+1，g（x）=Asin（x-

π

6

）（A≠0）
（1）当0≤x≤

π

2

时，求y=f（sinx）的最大值；
（2）若对任意的x₁∈[0，3]，总存在x₂∈[0，3]，使f（x₁）=g（x₂）成立，求实数A的取值范围；
（3）问a取何值时，不等式f（sinx）＜a-sinx在[0，2π]上恒成立？

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值,利用导数研究函数的单调性

专题：函数的性质及应用

分析：（1）由题意知y=f（sinx）=2sin²x-3sinx+1，设t=sinx，则0≤t≤1，y=2（t²-

3

2

t）+1，利用配方法能求出t=0时，y=f（sinx）取最大值1．
（2）由已知条件推导出-

1

2

≤sin(x2-

π

6

)≤1．依据题意有f（x₁）的值域是g（x₂）值域的子集，由已知条件能求出实数A的取值范围．
（3）f（sinx）＜a-sinx化为2sin²x-2sinx+1＜a在[0，2π]上恒成立，由此利用换元法能求出a＞5．

解答： 解：（1）由题意知y=f（sinx）=2sin²x-3sinx+1，
设t=sinx，x∈[0，

π

2

]，则0≤t≤1，
∴y=2（t²-

3

2

t）+1=2（t-

3

4

）²-

1

8

，
当t=0时，y=f（sinx）取最大值1．
（2）当x₁∈[0，3]时，f（x₁）值域为[-

1

8

，10]，
当x₂∈[0，3]时，则-

π

6

≤x2-

π

6

≤3-

π

6

，
∴-

1

2

≤sin(x2-

π

6

)≤1．
①当A＞0时，g（x₂）值域为[-

1

2

A，A]，
②当A＜0时，g（x₂）值域为[A，-

1

2

A]，
而依据题意有f（x₁）的值域是g（x₂）值域的子集，
则

A＞0 10＜A - 1 8 ≥- 1 2 A

或

A＜0 10≤- 1 2 A - 1 8 ≥A

，
∴A≥10或A≤-20．
（3）等式f（sinx）＜a-sinx在[0，2π]上恒成立，
等价于2sin²x-2sinx+1＜a在[0，2π]上恒成立，
令t=sinx，则t∈[-1，1]，
∴y=2t2-2t+1=2(t-

1

2

)2+

1

2

∈[

1

2

，5]．
∴a＞5．

点评：本题考查函数的最大值的求法，考查实数的取值范围的求法，解题时要认真审题，注意三角函数性质的合理运用．是中档题．