Question

若定义在R上的函数f（x）满足：对任意a，b∈R有f（a+b）=f（a）+f（b）+1．
（1）求f（0）的值；
（2）令F（x）=f（x）+1，判断y=F（x）的奇偶性；
（3）若x＞0有f（x）＞-1，解不等式f（x）+f（x+5）＞-2．

Answer 1

考点：函数奇偶性的性质,抽象函数及其应用

专题：函数的性质及应用

分析：（1）根据已知等式，采用赋值法，取a=b=0，可得f（0）的值；
（2）结合（1）中结论，继续采用赋值法，取a=x、b=-x，结合函数奇偶性的定义，可得F（x）是奇函数；
（3）任取x₁＜x₂，得f（x₂-x₁）=f（x₂）+f（-x₁）+1，根据（2）中的结论得f（x₂-x₁）=f（x₂）-f（x₁）-1，由条件判断 f（x₂）-f（x₁）的符号，得f（x） 在R上是增函数，根据恒等式将原不等式转化为f（2x+5）-1＞-2，再移项根据f（0）=-1化为：f（2x+5）＞f（0），再根据函数单调性的定义列出不等式求解．

解答： 解：（1）∵对任意a，b∈R有f（a+b）=f（a）+f（b）+1，
∴取a=b=0，得f（0+0）=f（0）+f（0）+1，
则f（0）=-1；
（2）取a=x、b=-x，可得f（0）=f（x）+f（-x）+1，
∴f（x）+f（-x）=-2，
∵F（x）=f（x）+1，
∴F（x）+F（-x）=f（x）+1+f（-x）+1=0，
则F（-x）=-F（x），
故函数F（x）为奇函数；
（3）任取x₁＜x₂，则 f（x₂-x₁）=f（x₂）+f（-x₁）+1，
由（2）知，F（x）=f（x）+1为奇函数，且f（x）+f（-x）=-2，
∴f（x₂-x₁）=f（x₂）-2-f（x₁）+1=f（x₂）-f（x₁）-1，
∵x₁＜x₂，∴x₂-x₁＞0，
又x＞0有f（x）＞-1，∴f（x₂）-f（x₁）-1＞-1，
可得 f（x₂）＞f（x₁），所以f（x） 在R上是增函数，
∵f（x）+f（x+5）=f（x+x+5）-1=f（2x+5）-1，
∴f（x）+f（x+5）＞-2转化为：f（2x+5）-1＞-2，
即 f（2x+5）＞-1=f（0）
∴2x+5＞0，解得x＞-

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2

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点评：本题考查函数奇偶性的判断，函数单调性的判断与证明，利用赋值法解决抽象函数的问题，考查分析问题、解决问题的能力，是中档题．