Question

函数f（x）=x²+（4a-4）x+a²-8a+4（x∈R），g（x）与f（x）图象关于直线x=1对称．
（Ⅰ）求g（x）解析式；
（Ⅱ）设函数h（x）=2x³+3ag（x），如果h（x）在开区间（0，1）上存在极小值，求a的取值范围；
（Ⅲ）若关于x的不等式g（x）≥x+a²-5a+11在区间[0，2]有解，求a的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值,函数解析式的求解及常用方法,利用导数研究函数的单调性

专题：函数的性质及应用,导数的综合应用

分析：（Ⅰ）设出y=g（x）上任一点P（x，y），求出P关于x=1的对称点P′，代入y=f（x）中，化简得g（x）；
（Ⅱ）根据h（x）求出导数h′（x），利用h′（x）判定函数的单调性与极值，从而求出a的取值范围；
（Ⅲ）根据题意，把不等式转化为求函数u（x）=x²-（4a+1）x+5a-11，在x∈[0，2]时的最值问题，由此求出a的取值范围．

解答： 解：（Ⅰ）设P（x，y）为y=g（x）上任一点，
∵y=g（x）与y=f（x）的图象关于直线x=1对称，
∴P（x，y）关于x=1的对称点P′（2-x，y）落在y=f（x）的图象上；
又∵f（x）=x²+（4a-4）x+a²-8a+4，（x∈R），
∴y=（2-x）²-（4a-4）（x-2）+a²-8a+4；
∴g（x）=x²-4ax+a²，（x∈R）；
（Ⅱ）h（x）=2x³+3ax²-12a²x+3a³，
∴h′（x）=6x²+6ax-12a²；
令h′（x）=0，得6x²+6ax-12a²=0，
解得x=-2a，或x=a；
∵h（x）在（0，1）上存在极小值，
∴h′（x）在（0，1）上一定存在零点，
①当a＞0时，列表如下，

∴0＜a＜1；
②当a＜0时，列表如下，

∴0＜-2a＜1，即-

1

2

＜a＜0；
③当a=0时，不存在极小值；
综上，-

1

2

＜a＜0，或0＜a＜1；
（Ⅲ）g（x）≥x+a²-5a+11在区间[0，2]上有解，
即x²-（4a+1）x+5a-11≥0在区间[0，2]上有解；
设u（x）=x²-（4a+1）x+5a-11，x∈[0，2]，
则本题等价于[u（x）]_max≥0；
现求u（x）的最大值：
（1）当

4a+1

2

≤1，即a≤

1

4

时，u（2）最大，
即

u(2)=-3a-9≥0 a≤ 1 4

，
解得a≤-3；
（2）当

4a+1

2

＞1，即a＞

1

4

时，u（0）最大，
即

u(0)=5a-11≥0 a＞ 1 4

；
解得a≥

11

5

；
∴g（x）≥x+a²-5a+11在区间[0，2]上有解的a的取值范围是
a≤-3，或a≥

11

5

．

点评：本题考查了利用对称性求函数解析式的问题，利用导数研究函数的单调性与极值、最值的问题，也考查了转化思想，分类讨论思想，是综合题目．