Question

已知函数f（x）=x²lnx-x³-ax²-x+1（a∈R）
（1）当a=

1

2

时，求f（x）在（0，1]上的最小值；
（2）若y=f（x）在（0，1]上为减函数，求a的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值,利用导数研究函数的单调性

专题：导数的综合应用

分析：（1）a=

1

2

时，f′（x）=2xlnx-3x²-1，x∈（0，1]，f′（x）＜0，由此能求出f（x）在（0，1]上的最小值．
（2）f′（x）=2xlnx+x-2ax-1，由已知得a＞

2xlnx+x-1

x

=2lnx+1-

1

x

在（0，1]上恒成立，由此利用构造法能求出a的取值范围．

解答： 解：（1）∵a=

1

2

时，f（x）=x²lnx-x³-

1

2

x²-x+1，
f′（x）=2xlnx-3x²-1，
∵x∈（0，1]，∴f′（x）＜0，
∴f（x）在（0，1]上是减函数，
∴f（x）在（0，1]上的最小值为f（1）=-1-

1

2

-1+1=-

3

2

．
（2）f′（x）=2xlnx+x-2ax-1，
∵y=f（x）在（0，1]上为减函数，
∴x＞0时，f′（x）=2xlnx+x-2ax-1＜0，
∴a＞

2xlnx+x-1

x

=2lnx+1-

1

x

在（0，1]上恒成立，
设h（x）=2lnx-

1

x

+1，则h′(x)=

2

x

+

1

x2

=

2x+1

x2

，
∴x∈（0，1]时，h′（x）＞0，
∴h（x）在（0，1]上是增函数，∴h（x）_max=h（1）=0，
∴a＞0．
∴a的取值范围是（0，+∞）．

点评：本题主要考查了利用函数的导数求出函数的单调性以及函数的极值问题，考查学生分析解决问题的能力，利用导数研究函数的单调性的能力，函数恒成立时条件的应用能力．