Question

已知函数f（x）=x³-3ax²+2（其中a＞0）
（1）若函数f（x）在点（1，f（1））处的切线的倾斜角为45°，求实数a的取值．
（2）求函数f（x）在区间[0，2]上的最小值．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值,利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：导数的综合应用

分析：（1）由已知得f′（x）=3x²-6ax，由此利用导数的几何意义能求出a的值．
（2）由f′（x）=3x²-6ax=0，得x=0或x=2a，由此利用分类讨论思想和导数性质能求出函数f（x）在区间[0，2]上的最小值．

解答： 解：（1）∵函数f（x）=x³-3ax²+2（其中a＞0），
∴f′（x）=3x²-6ax，
∵函数f（x）在点（1，f（1））处的切线的倾斜角为45°，
∴f′（1）=3-6a=tan45°=1，
解得a=

1

3

．
（2）由f′（x）=3x²-6ax=0，得x=0或x=2a，
①当a≥1时，
∵f（0）=2，f（2）=10-12a，
∴函数f（x）在区间[0，2]上的最小值为10-12a．
②0＜a＜1时，
∵f（0）=2，f（2）=10-12a，f（2a）=2-4a³，
f（2）-f（2a）=10-12a-2+4a³=4a³-12a+8＞0，
∴函数f（x）在区间[0，2]上的最小值为2-4a³．
综上所述，函数f（x）在区间[0，2]上的最小值f（x）_min=

10-12a，a≥1 2-4a3，0＜a＜1

．

点评：本题考查实数值的求法，考查函数的在闭区间上的最小值的求法，解题时要认真审题，注意导数性质的合理运用．