Question

设f（x）=lnx+

x

-1，证明：当x＞1时，f（x）＜

3

2

（ x-1）．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值

专题：导数的综合应用

分析：令g（x）=

3

2

（ x-1）-f（x）=

3

2

（ x-1）-lnx-

x

+1 （x＞1），则g'（x）=

3x-2- x

2x

，由此利用导数性质能证明当x＞1时，f（x）＜

3

2

（ x-1）．

解答： 解：令g（x）=

3

2

（ x-1）-f（x）=

3

2

（ x-1）-lnx-

x

+1 （x＞1）
则g'（x）=

3

2

-

1

x

-

1

2

•

1

x

=

3x-2- x

2x

，
由g'（x）=0，即3x-

x

-2=0得：

x

=1或

x

=-

2

3

（舍），
∴g'（x）=

( x + 2 3 )( x -1)

2x

，
∵x＞1
∴g'（x）＞0恒成立，
∴g（x）递增
∴g（x）＞g（1）=0，
∴当x＞1时，f（x）＜

3

2

（ x-1）．

点评：本题考查不等式的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意导数性质的合理运用．