Question

设P（a，b）是直线y=-x上的点，若对曲线y=

1

x

（x＞0）上的任意一点Q恒有|PQ|≥3，则实数a的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的关系

专题：计算题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：设Q（x，

1

x

）（x＞0），由两点的距离求出|PQ|，并化简得到

(x- 1 x )2-2a(x- 1 x )+2a2+2

，令t=x-

1

x

，
则|PQ|=

t2-2at+2a2+2

，即可得到最小值为

a2+2

，由题意得，

a2+2

≥3，解出即可．

解答： 解：∵P（a，b）是直线y=-x上的点，∴b=-a．∴P（a，-a）．
设Q（x，

1

x

）（x＞0），则|PQ|=

(x-a)2+( 1 x +a)2

=

x2+ 1 x2 -2ax+ 2a x +2a2

=

(x- 1 x )2-2a(x- 1 x )+2a2+2

．
令t=x-

1

x

，则|PQ|=

t2-2at+2a2+2

，由于t′=1+

1

x2

＞0，则（0，+∞）为增区间，
t∈R，故当t=a时，|PQ|取最小值为

a2+2

，由题意得，

a2+2

≥3，解得a≥

7

或a≤-

7

．
故答案为：（-∞，-

7

]∪[

7

，+∞）．

点评：本题考查直线方程和双曲线方程及运用，考查不等式恒成立问题，转化为求函数的最值问题，属于中档题．