Question

已知函数f(x)=a+2sin2(x+

π

4

)（a是常数，x∈R），y=f（x）的图象经过坐标原点．
（1）求a；
（2）求函数f（x）的最小正周期；
（3）已知f(

α

2

)=

1

3

，求sin(α+

π

3

)的值．

Answer 1

分析：（1）由函数图象过原点得f（0）=0，代入解析式求解即可；
（2）利用二倍角的余弦公式对解析式进行化简，利用周期公式求出函数的最小正周期；
（3）根据（2）化简的结果和题意，求出α的正弦值，再由平方关系求出它的余弦值，利用两角和的正弦公式求出sin(α+

π

3

)的值．

解答：解：（1）由题意得，f(0)=a+2sin2(0+

π

4

)=0，
解得a=-1
（2）f(x)=2sin2(x+

π

4

)-1=-cos(2x+

π

2

)=sin2x，
∴T=

2π

2

=π
（3）由（2）得，f(

α

2

)=sinα=

1

3

，
根据平方关系得，cosα=±

2 2

3

，
∴sin(α+

π

3

)=sinαcos

π

3

+cosαsin

π

3

=

1±2 6

6

点评：本题考查了三角函数的综合题，关键是利用三角恒等变换的公式对解析式进行化简，再由条件进行求角的三角函数值，考查了知识的综合应用能力．