Question

已知函数f（x）=Asin（ωx+φ），（A＞0，ω＞0，|φ|＜

π

2

）的图象的一部分如图所示．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）求函数f（x+2）的解析式，单调区间和最大（小）值及对应的x的值．

Answer 1

考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换

专题：三角函数的图像与性质

分析：（1）由图象得到A和T，代入周期公式求ω，再把点（-1，0）代入函数图象求φ；
（2）求出f（x+2）的解析式，直接利用复合函数的单调性求单调期间，并求最大（小）值及对应的x的值

解答： 解：（1）由图象知A=2，T=8，
∴ω=

2π

8

=

π

4

，
又图象经过点（-1，0），
∴2sin(-

π

4

+φ)=0，
∵|φ|＜

π

2

，∴φ=

π

4

．
∴f(x)=2sin(

π

4

x+

π

4

)；
（2）∵f（x+2）=2sin[

π

4

(x+2)+

π

4

]
=2sin(

π

4

x+

π

2

+

π

4

)=2cos(

π

4

x+

π

4

)．
由-π+2kπ≤

π

4

x+

π

4

≤2kπ，得8k-5≤x≤8k-1，k∈Z．
由2kπ≤

π

4

x+

π

4

≤2kπ，得8k-1≤x≤8k+3，k∈Z．
∴f（x+2）的增区间为[8k-5，8k-1]，k∈Z．
f（x+2）的减区间为[8k-1，8k+3]，k∈Z．
最大值为2，此时x=8k-1，k∈Z．
最小值为-2，此时x=8k+3，k∈Z．

点评：本题考查了y=Asin（ωx+φ）型函数的图象和性质，考查了复合函数单调性的求法，是中档题．