Question

8．已知在△ABC中，∠C=90°，∠BAC与∠ABC的角平分线交于点I，求证：AI•BI=$\sqrt{2}$AB•r（r为内切圆I的半径）．

Answer 1

分析 先证明∠AIB=180°-∠BAI+∠ABI=135°，再利用等面积，即可证明结论．

解答 证明：∵AI和BI分别为角平分线
∴∠BAI=$\frac{1}{2}$∠BAC，∠ABI=$\frac{1}{2}$∠ABC
∵∠C=90°，
∴∠BAC+∠ACB=90°
∴∠BAI+∠ABI=45°
∴∠AIB=180°-∠BAI+∠ABI=135°
∴S_△ABI=$\frac{1}{2}$AI•BI•sin135°
∵S_△ABI=$\frac{1}{2}$AB•r
∴AI•BI•sin135°=AB•r
∴AI•BI=$\sqrt{2}$AB•r（r为内切圆I的半径）．

点评 本题考查三角形的内切圆，考查等式的证明，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．