Question

18．如图，已知函数f（x）=ax³+b，其图象上一点P处的切线为 l：y=4x-4，且点P的横坐标为2．
（1）求f（x）的解析式；
（2）求直线l、直线x=0、直线y=0以及f（x）的图象在第一象限所 围成的曲边图形区域的面积．

Answer 1

分析 （1）先利用导数求出该点的斜率，然后求出切点的坐标，得出函数的解析式；
（2）根据定积分即可求出直线l、直线x=0、直线y=0以及f（x）的图象在第一象限所围成区域的面积．

解答 解：（1）f′（x）=3ax²．∴f′（2）=12a，
切线的斜率 k=12a，
∵切线方程为：y=4x-4，∴切点坐标为了（2，4），
∴12a=4，∴a=$\frac{1}{3}$，
且f（2）=ax³+b=4，∴b=$\frac{4}{3}$，
即f（x）=$\frac{1}{3}$x³+$\frac{4}{3}$，
（2）直线l：y=4x-4与x轴的交点的横坐标为1，
所以直线l、直线x=0、直线y=0以及f（x）的图象在第一象限所围成区域的面积为：
S=${∫}_{0}^{1}$（$\frac{1}{3}$x³+$\frac{4}{3}$）dx+${∫}_{1}^{2}$[（$\frac{1}{3}$x³+$\frac{4}{3}$）-（4x-4）]dx
=（$\frac{1}{12}$x⁴+$\frac{4}{3}$x）${|}_{0}^{1}$+（$\frac{1}{12}$x⁴+$\frac{16}{3}$x-2x²）${|}_{1}^{2}$
=$\frac{1}{12}$+$\frac{4}{3}$+$\frac{1}{12}$×2⁴+$\frac{16}{3}$×2-2×2²-（$\frac{1}{12}$+$\frac{16}{3}$-2）=2．

点评 本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，同时考查了定积分的运用，属于中档题．