Question

10．已知sin2x=$\frac{sinθ+cosθ}{2}$，cos²x=sinθcosθ，那么cos2x的值是$\frac{-1-\sqrt{33}}{8}$．

Answer 1

分析 由已知得：4（sin2x）²=1+2sinθcosθ，将cos²x=sinθcosθ代入得：4（sin2x）²=1+2cos²x，整理可得4cos²2x+cos2x-2=0，即可得解．

解答 解：2sin2x=sinθ+cosθ，
平方得：4（sin2x）²=1+2sinθcosθ，
将cos²x=sinθcosθ代入得：
4（sin2x）²=1+2cos²x，
4（1-cos²2x）=1+2cos²x，
4（1-cos²2x）=1+（1+cos2x），
4cos²2x+cos2x-2=0，
cos2x=$\frac{-1±\sqrt{33}}{8}$．
又cos2x=2cos²x-1=2sinxcosx-1=-（sinx-cosx）²＜0，
可得：cos2x=$\frac{-1-\sqrt{33}}{8}$．
故答案为：$\frac{-1-\sqrt{33}}{8}$．

点评 本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，一元二次方程的解法，属于基本知识的考查．