Question

20．如图：平面上两点P（0，1），Q（3，6），在直线y=x上取两点M，N，使$|MN|=\sqrt{2}$且使|PM|+|MN|+|NQ|的值取最小，则N的坐标为$（\frac{9}{4}，\frac{9}{4}）$．

Answer 1

分析 求出P关于直线y=x的对称点，过Q（3，6）作平行于y=x的直线为y=x+3，将|PM|+|MN|+|NQ|的值进行转化求|P′M|+|MQ′|的最小值，利用数形结合以及根据两点间的距离公式进行求解即可

解答 解：P点关于直线y=x的对称点为P′（1，0），则有|PM|+|MN|+|NQ|=|P′M|+|MN|+|NQ|，
又过Q（3，6）作平行于y=x的直线为y=x+b；由6=3+b得b=3，即此时直线为y=x+3，
过M点作MQ′∥NQ，
则|MQ′|=|NQ|，|QQ′|=|MN|=$\sqrt{2}$；
则|P′M|+|MN|+|NQ|=|P′M|+|MN|+|MQ′|，
∵|MN|是常数，
∴要使|PM|+|MN|+|NQ|的值取最小，
则|P′M|+|MQ′|的值取最小，即P′，M，Q′三点共线时最小，
则设Q′（a，a+3），（a＜3），由|QQ′|=|MN|=$\sqrt{2}$；
得$\sqrt{（a-3）^{2}+（6-a-3）^{2}}=\sqrt{2}$，即2（a-3）²=2，即（a-3）²=1，
∴a=4（舍）或a=2，即Q′（2，5），
设M（x，x），则x$\frac{x-0}{x-1}=\frac{5-0}{2-1}=5$，解得x=$\frac{5}{4}$，即M（$\frac{5}{4}$，$\frac{5}{4}$），
设N（b，b），b＞$\frac{5}{4}$，
由|MN|=$\sqrt{2}$；得$\sqrt{（b-\frac{5}{4}）^{2}+（b-\frac{5}{4}）^{2}}=\sqrt{2}$，
得2（b-$\frac{5}{4}$）²=2，即（b-$\frac{5}{4}$）=1，则b-$\frac{5}{4}$=1或b-$\frac{5}{4}$=-1，
即b=$\frac{9}{4}$或b=$\frac{1}{4}$（舍），故N（$\frac{9}{4}$，$\frac{9}{4}$），
故答案为：（$\frac{9}{4}$，$\frac{9}{4}$）

点评 本题主要考查两点间距离的应用，利用对称性将条件进行转化是解决本题的关键．综合性较强，难度较大．