Question

8．已知函数f（x）=x²+2alnx．
（1）若函数f（x）的图象在（2，f（2））处的切线斜率为1，求实数a的值；
（2）在（1）的条件下，求函数f（x）的单调区间；
（3）若函数g（x）=$\frac{2}{x}$+f（x）在[1，2]上是减函数，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，由导数的几何意义得f′（2）=1，解得即可；
（2）求出函数的导数，令导数大于0，得增区间，令导数小于0，得减区间，注意x＞0；
（3）根据函数的单调性与导数的关系可得g'（x）≤0在[1，2]上恒成立，即-$\frac{2}{{x}^{2}}$+2x+$\frac{2a}{x}$≤0在[1，2]上恒成立．即a≤$\frac{1}{x}$-x²在[1，2]上恒成立．利用导数求出函数h（x）=$\frac{1}{x}$-x²在[1，2]上的最小值，即可得出结论．

解答 解：（1）函数f（x）=x²+2alnx的导数为f′（x）=2x+$\frac{2a}{x}$，
由已知f'（2）=1，即4+a=1，解得a=-3．
（2）f（x）=x²-6lnx的导数为f′（x）=2x-$\frac{6}{x}$，x＞0．
由f′（x）＞0，可得x＞$\sqrt{3}$，f′（x）＜0，可得0＜x＜$\sqrt{3}$，
即有f（x）的减区间为（0，$\sqrt{3}$），增区间为（$\sqrt{3}$，+∞）；
（3）由g（x）=$\frac{2}{x}$+x²+2alnx，得g′（x）=-$\frac{2}{{x}^{2}}$+2x+$\frac{2a}{x}$，
由已知函数g（x）为[1，2]上的单调减函数，
则g'（x）≤0在[1，2]上恒成立，
即-$\frac{2}{{x}^{2}}$+2x+$\frac{2a}{x}$≤0在[1，2]上恒成立．
即a≤$\frac{1}{x}$-x²在[1，2]上恒成立．
令h（x）=$\frac{1}{x}$-x²，在[1，2]上h′（x）=-$\frac{1}{{x}^{2}}$-2x＜0，
所以h（x）在[1，2]为减函数．h（x）_min=h（2）=-$\frac{7}{2}$，
所以a≤-$\frac{7}{2}$．

点评 本题主要考查导数的几何意义，利用导数研究函数的单调性、最值等知识，属于中档题．