Question

19．已知抛物线x²=4y的焦点为F，过焦点F且不平行于x轴的动直线l交抛物线于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）两点，抛物线在A、B两点处的切线交于点M．
（1）求A，B两点的横坐标之和；
（2）求证：A，M，B三点的横坐标成等差数列；
（3）设直线MF交该抛物线于C，D两点，求四边形ACBD面积的最小值．

Answer 1

分析 （1）通过抛物线方程可知焦点F（0，1），通过设直线AB方程y=kx+1（k≠0）并与抛物线联立、利用韦达定理即得结论；
（2）通过抛物线方程可知直线AM方程为2（y+y₁）=x₁x、直线BM的方程为2（y+y₂）=x₂x，两式相减计算即得结论；
（3）通过（2）可知M（2k，-1）（k≠0），进而可知AB⊥CD，利用两点间距离公式、完全平方公式、矩形面积公式、基本不等式计算即得结论．

解答 （1）解：∵抛物线方程为：x²=4y，
∴焦点为F（0，1），
∵动直线l过焦点F且不平行于x轴，
∴可设直线AB方程为：y=kx+1（k≠0），
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+1}\\{{x}^{2}=4y}\end{array}\right.$，消去y、整理得：x²-4kx-4=0，
显然△=16k²+16＞0，
∵A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
∴x₁+x₂=4k，x₁x₂=-4，
∴A、B两点的横坐标之和为4k；
（2）证明：∵抛物线方程为：x²=4y，
∴y=$\frac{1}{4}$x²，∴y′=$\frac{1}{2}$x，
∵k_AM=$\frac{1}{2}$x₁，
∴直线AM方程为：y-y₁=$\frac{1}{2}$x₁（x-x₁），
又∵${{x}_{1}}^{2}$=4y₁，
∴直线AM方程为：2（y+y₁）=x₁x，
同理，直线BM的方程为：2（y+y₂）=x₂x，
两式相减得：x=$\frac{1}{2}$（x₁+x₂），
即A、M、B三点的横坐标成等差数列；
（3）解：由（2）可知2（y+y₁）=x₁•$\frac{1}{2}$（x₁+x₂），
∴4y+4y₁=${{x}_{1}}^{2}$+x₁x₂，
∴y=$\frac{{x}_{1}{x}_{2}}{4}$=$\frac{-4}{4}$=-1，
∴M（2k，-1）（k≠0），
∴k_MF=$\frac{2}{-2k}$=-$\frac{1}{k}$，
∴直线MF的方程为：y=-$\frac{1}{k}$x+1，
∴AB⊥CD，
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{1}{k}x+1}\\{{x}^{2}=4y}\end{array}\right.$，消去y、整理得：x²+$\frac{4}{k}$x-4=0，
∴x_C+x_D=-$\frac{4}{k}$，x_Cx_D=-4，
∴|CD|=$\sqrt{（{x}_{C}-{x}_{D}）^{2}+（{y}_{C}-{y}_{D}）^{2}}$
=$\sqrt{（1+\frac{1}{{k}^{2}}）}$•$\sqrt{（{x}_{C}-{x}_{D}）^{2}}$
=$\sqrt{（1+\frac{1}{{k}^{2}}）}$•$\sqrt{（{x}_{C}+{x}_{D}）^{2}-4{x}_{C}{x}_{D}}$
=$\sqrt{（1+\frac{1}{{k}^{2}}）}$•$\sqrt{（-\frac{4}{k}）^{2}-4•（-4）}$
=4（1+$\frac{1}{{k}^{2}}$），
又∵|AB|=$\sqrt{（{x}_{1}-{x}_{2}）^{2}+（{y}_{1}-{y}_{2}）^{2}}$
=$\sqrt{1+{k}^{2}}•$$\sqrt{（{x}_{1}-{x}_{2}）^{2}}$
=$\sqrt{1+{k}^{2}}•$$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$
=$\sqrt{1+{k}^{2}}•$$\sqrt{（4k）^{2}-4•（-4）}$
=4（1+k²），
∴S_{四边形ACBD}=$\frac{1}{2}$•|AB|•|CD|
=$\frac{1}{2}$•4（1+k²）•4（1+$\frac{1}{{k}^{2}}$）
=8（k²+$\frac{1}{{k}^{2}}$+2）
≥8（2$\sqrt{{k}^{2}•\frac{1}{{k}^{2}}}$+2）（当且仅当k²=$\frac{1}{{k}^{2}}$即k=±1时取等号）
=32，
∴四边形ACBD面积的最小值为32．

点评 本题考查抛物线的简单性质，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．