Question

17．在数列{a_n}中，a₁=1，a_n+1=1-$\frac{1}{{4{a_n}}}，{b_n}$=$\frac{2}{{2{a_n}-1}}$，n∈N⁺．（1）求b₁，b₂，b₃写出数列{b_n}的通项公式（不要求证明）；
（2）求证：对于任意的n∈N⁺都有a_n+1＜a_n；
（3）设${c_n}={（\sqrt{2}）^{b_n}}$证明：数列{c_n}不存在成等差数列的三项．

Answer 1

分析 （1）利用数列的递推关系代入即可；
（2）确定数列{a_n}的通项公式，作差比较，即可得到结论；
（3）利用反证法，假设在{c_n}中存在第m，p，q（m＜p＜q，且m，p，q∈N^*）项成等差数列，从而得出矛盾．

解答 解：（1）∵a₁=1，a_n+1=1-$\frac{1}{{4{a_n}}}，{b_n}$=$\frac{2}{{2{a_n}-1}}$，n∈N⁺．
∴a₂=1-$\frac{1}{4}$=$\frac{3}{4}$，a₂=1-$\frac{1}{4×\frac{3}{4}}$=1-$\frac{1}{3}$=$\frac{2}{3}$，a₃=1-$\frac{1}{4×\frac{2}{3}}$=1-$\frac{3}{8}$=$\frac{5}{8}$，
则b₁=$\frac{2}{2-1}=2$，b₂=$\frac{2}{2×\frac{3}{4}-1}=4$，b₃=$\frac{2}{2×\frac{2}{3}-1}=\frac{2}{\frac{1}{3}}=6$，
则b_n=2n．
（2）证明：由（1）知b_n=2n，n∈N^*，
则$\frac{2}{{2{a_n}-1}}$=2n，
解得a_n=$\frac{n+1}{2n}$，
∵${a_n}=\frac{n+1}{2n}=\frac{1}{2}（1+\frac{1}{n}）$，${a_{n+1}}=\frac{1}{2}（1+\frac{1}{n+1}）$，
∴${a_{n+1}}-{a_n}=\frac{1}{2}（1+\frac{1}{n}）-\frac{1}{2}（1+\frac{1}{n+1}）=\frac{1}{2}（\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n}）＜0$．
即：对任意的n∈N^*，a_n+1＜a_n
（3）解：由（2）知，${c_n}={（\sqrt{2}）^{2n}}={2^n}$，
假设在{c_n}中存在第m，p，q（m＜p＜q，且m，p，q∈N^*）项成等差数列，
则：2•2^P=2^m+2^q，∴2^p+1=2^m+2^q，∴2^p+1-m=2^q-m+1，
∵m，p，q∈N^*
∴2^p+1-m为偶数，2^q-m+1为奇数，两者不可能相等，即假设不成立，
即在数列{c_n}中不存在三项可以构成等差数列．

点评 本题考查数列递推关系的应用，考查数列的通项，考查反证法的运用，属于中档题．