Question

18．在等差数列{a_n}中，${a_1}=\frac{1}{25}$，第10项开始比1大，记$t=\lim_{n→∞}\frac{{{a_n}+{S_n}}}{n^2}$，则t的取值范围是（　　）

• A． $t＞\frac{4}{75}$
• B． $\frac{8}{75}＜t≤\frac{3}{25}$
• C． $\frac{4}{75}＜t＜\frac{3}{50}$
• D． $\frac{4}{75}＜t≤\frac{3}{50}$

Answer 1

分析 设等差数列{a_n}的公差是d，根据题意和等差数列的通项公式列出不等式组，求出d的范围，求出a_n、S_n代入$\frac{{a}_{n}+{S}_{n}}{{n}^{2}}$化简，根据极限运算求出t，再求出t的取值范围．

解答 解：设等差数列{a_n}的公差是d，
因为${a_1}=\frac{1}{25}$，第10项开始比1大，
所以$\left\{\begin{array}{l}{d＞0}\\{\frac{1}{25}+9d＞1}\\{\frac{1}{25}+8d≤1}\end{array}\right.$，解得$\frac{8}{75}＜d≤\frac{3}{25}$，
因为a_n=$\frac{1}{25}$+（n-1）d，S_n=$\frac{1}{25}$n+$\frac{n（n-1）}{2}×d$，
所以$\frac{{a}_{n}+{S}_{n}}{{n}^{2}}$=$\frac{1}{{n}^{2}}[\frac{d}{2}{n}^{2}+（\frac{1}{25}+\frac{d}{2}）n+\frac{1}{25}-d]$=$\frac{d}{2}+（\frac{1}{25}+\frac{d}{2}）\frac{1}{n}+（\frac{1}{25}-d）\frac{1}{{n}^{2}}$，
则$t=\lim_{n→∞}\frac{{{a_n}+{S_n}}}{n^2}=\frac{d}{2}$，
所以$\frac{d}{2}∈$（$\frac{4}{75}，\frac{3}{50}$]，
故选：D．

点评 本题考查等差数列的通项公式、前n项和公式，极限运算，以及化简、变形能力，属于中档题．