Question

2．已知函数g（x）=x²+bx在点x=1处的切线的斜率为2．
（1）求实数b的值；
（2）已知函数f（x）=alnx且h（x）=f（x）-g（x）+1，若h（x）≤0对x＞0恒成立，求实数a的值．

Answer 1

分析 （1）求导数，利用g（x）=x²+bx在点x=1处的切线的斜率为2，建立方程，即可求实数b的值；
（2）已知函数f（x）=alnx且h（x）=f（x）-g（x）+1，若h（x）≤0对x＞0恒成立，函数在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，即可求实数a的值．

解答 解：（1）∵g（x）=x²+bx，∴g′（x）=2x+b，
∵g（x）=x²+bx在点x=1处的切线的斜率为2，
∴2+b=2，
∴b=0；
（2）h（x）=f（x）-g（x）+1=alnx-x²+1，
∴h′（x）=$\frac{a}{x}$-2x=$\frac{a-2{x}^{2}}{x}$
∵h（1）=0，
∴h（x）≤0对x＞0恒成立，函数在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，
∴h′（1）=0，∴a=2．

点评 本题考查利用导数求函数性质的应用，考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想．对数学思维的要求比较高，有一定的探索性．