Question

11．试判断函数f（x）=$\frac{1+sinx-cosx}{1+cosx+sinx}$在下列区间上的奇偶性．
（1）x∈（-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$）；
（2）x∈[-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$]．

Answer 1

分析 通过举反例，x=$\frac{π}{2}$在定义域内，x=-$\frac{π}{2}$不在定义域内，定义域关于原点不对称，故得到结论 f（x）是非奇非偶函数．

解答 解：f（x）=$\frac{1+sinx-cosx}{1+cosx+sinx}$=$\frac{1-1+2si{n}^{2}\frac{x}{2}+2sin\frac{x}{2}cos\frac{x}{2}}{1+2co{s}^{2}\frac{x}{2}-1+2sin\frac{x}{2}cos\frac{x}{2}}$=$\frac{2sin\frac{x}{2}（sin\frac{x}{2}+cos\frac{x}{2}）}{2cos\frac{x}{2}（sin\frac{x}{2}+cos\frac{x}{2}）}$=tan$\frac{x}{2}$．
（1）1+cosx+sinx=1+$\sqrt{2}$sin（x+$\frac{π}{4}$），
若x∈（-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$）；
则x+$\frac{π}{4}$∈（-$\frac{π}{4}$，$\frac{3π}{4}$）
则sin（x+$\frac{π}{4}$）∈（-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，1]，
$\sqrt{2}$sin（x+$\frac{π}{4}$）∈（-1，$\sqrt{2}$]，
1+$\sqrt{2}$sin（x+$\frac{π}{4}$）∈（0，1+$\sqrt{2}$]此时分母有意义，
则f（-x）=-tan$\frac{x}{2}$=-f（x），即此时函数为奇函数．
（2）若x∈[-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$]．
则当x=$\frac{π}{2}$，f（x）有意义，当x=-$\frac{π}{2}$时，f（x）没有意义，故定义域关于原点不对称．
∴f（x）是非奇非偶函数．

点评 本题主要考查函数奇偶性的判断，要注意判断奇偶性的步骤：一是分析定义域是否关于原点对称，二是分析f（x）与f（-x）的关系，属于中档题．