Question

3．5名男生、2名女生站一排照相：
（1）若女生甲要站两端，有多少种不同的站法？
（2）若两名女生都不站在两端，有多少不同的站法？
（3）若两名女生不相邻，有多少种不同的站法？
（4）若站一排，且女生甲要在女生乙的右方，有多少种不同的站法？

Answer 1

分析 （1）根据题意，分2步进行分析：第一步：让女生甲站排头或排尾，第二步：剩余6人站其它6个位置，进行全排列即可，由分步计数原理计算可得答案；
（2）根据题意，分2步进行分析：第一步：从中间5个位置选2个站两个女生，第二步：剩余5人站其它5个位置，将5人进行全排列即可，由分步计数原理计算可得答案；
（3）根据题意，分2步进行分析：第一步：将5个男生进行排列，第二步：从6个空中选2个给两名女生排列，求出每一步的情况数目，由分步计数原理计算可得答案；
（4）根据题意，首先将7人站成一排进行全排列，由于女生甲在女生乙右方和左方的排法数目相同，由倍分法计算可得答案．

解答 解：（1）根据题意，分2步进行分析：
第一步：让女生甲站排头或排尾，有2种站法；
第二步：剩余6人站其它6个位置，共有$A_6^6$种站法．
由分步计数原理得，女生甲站两端，共有$2×A_6^6=1440$种站法．
（2）根据题意，分2步进行分析：
第一步：从中间5个位置选2个站两个女生，有$A_5^2=20$种站法；
第二步：剩余5人站其它5个位置，有A₅⁵=120种站法．
由分步计数原理得，两个女生都不站在两端共有A₅²A₅⁵=2400种站法．
（3）根据题意，分2步进行分析：
第一步：将5个男生进行排列，有A₅⁵种站法；
第二步：从6个空中选2个给两名女生排列，有A₆²种站法．
由分步计数原理得，两个女生不相邻有A₅⁵A₆²=3600种站法．
（4）7人站成一排，有A₇⁷种排法，
由于女生甲在女生乙右方和左方的可能性相同，即排法数目相同，
故共有$\frac{{A}_{7}^{7}}{2}$=2520种站法．

点评 本题考查排列、组合的运用，涉及分类、分步计数原理原理的应用，注意常见问题的处理方法．