Question

如图，正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E为棱AB的中点，则直线C₁E与平面ACC₁A₁所成角的正切值为    ．

Answer 1

【答案】分析：以A为坐标原点，AB，AD，AA₁分别为x，y，z轴正方向，建立空间坐标系O-xyz，分别求出面ACC₁A₁的法向量和直线C₁E的方向向量，代入向量夹角公式，可得C₁E与平面ACC₁A₁所成角的正弦值，进而根据同角三角函数关系求出正切值．
解答：解：以A为坐标原点，AB，AD，AA₁分别为x，y，z轴正方向，建立空间坐标系O-xyz
设正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为2
则A（0，0，0），B（2，0，0），D（0，2，0），E（1，0，0），C₁（2，2，2）
根据正方体的几何特征，可得BD⊥平面ACC₁A₁，
故=（-2，2，0）是平面ACC₁A₁的一个法向量
又∵=（-1，-2，-2）
故C₁E与平面ACC₁A₁所成角θ满足sinθ===
则cosθ=，tanθ=
故答案为：
点评：本题考查的知识点是直线与平面所成的角，其中建立空间坐标系，将线面夹角问题转化为向量夹角问题是解答的关键．