Question

已知二次函数f（x）=ax²+bx+1，集合A={x|f（x）=x}．
（1）若A={1}，求函数f（x）的解析式；
（2）若1∈A，且1≤a≤2，设f（x）在区间[

1

2

，2]上的最大值、最小值分别是M、m，记g（a）=M-m，求g（a）的最小值．

Answer 1

考点：二次函数在闭区间上的最值,函数解析式的求解及常用方法

专题：函数的性质及应用

分析：（1）ax²+bx+1=x，有等根1，（b-1）²-4a=0，a+b+1=1，a=1，b=-1，即可求出解析式．
（2）1∈A，a+b=0，f（x）=ax²-ax+1，f（x）在区间[

1

2

，2]上的最大值、最小值分别是M、m，根据单调性判出最值，在构造函数求解．

解答： 解：（1）∵二次函数f（x）=ax²+bx+1，集合A={x|f（x）=x}．
A={1}，
∴ax²+bx+1=x，有等根1，即，（b-1）²-4a=0，且a+b+1=1，解得a=1，b=-1，
函数f（x）=x²-x+1，
（2）∵函数f（x）=ax²+bx+1，集合A={x|f（x）=x}，1∈A，
∴a+b=0，f（x）=ax²-ax+1=a[（x-

1

2

）²-

1

4

]+1，
∵1≤a≤2，∴f（x）在区间[

1

2

，2]上的最大值、最小值分别是M、m，
M=f（2），m=f（

1

2

），g（a）=M-m，
∴g（a）=3a+1-

a

4

-1=

11

4

a，1≤a≤2，
根据单调性可知g（a）的最小值为：

11

4

点评：本题综合考查了函数的性质，方程的应用，对各种数学思想综合考查运用．