Question

设数列a₁，a₂，…，a_n，…的前n项的和S_n与a_n的关系是Sn=-ban+1-

1

(1+b)n

，其中b是与n无关的常数，且b≠-1．
（1）求a_n和a_n-1的关系式；
（2）写出用n和b表示a_n的表达式；
（3）当0＜b＜1时，求极限

lim

n→∞

Sn．

Answer 1

(1)an=Sn-Sn-1=-b(an-an-1)-

1

(1+b)n

+

1

(1+b)n-1

=-b(an-an-1)+

b

(1+b)n

(n≥2)
解得an=

b

1+b

an-1+

b

(1+b)n+1

(n≥2)(1)
(2)∵a1=S1=-ba1+1-

1

1+b

，∴a1=

b

(1+b)2

．(2)
由（1）得
an=

b

1+b

[

b

1+b

an-2+

b

(1+b)n

]+

b

(1+b)n+1

=(

b

1+b

)2an-2+

b+b2

(1+b)n+1

=(

b

1+b

)2[

b

1+b

an-3+

b

(1+b)n-1

]+

b+b2

(1+b)n+1

=(

b

1+b

)3an-3+

b+b2+b3

(1+b)n+1

由此推得an=(

b

1+b

)n-1a1+

b+b2++bn-1

(1+b)n+1

(3)
将(2)代入(3)得an=

b+b2++bn

(1+b)n+1

∴an=

b-bn+1 (1-b)(1+b)n+1 ，b≠1 n 2n+1 ，b=1

(3)Sn=

(-b)(b-bn+1)

1-b

•(

1

1+b

)n+1+1-(

1

1+b

)n，(b≠1)
∵0＜b＜1时，

lim

n→∞

bn=0，

lim

n→∞

(

1

1+b

)n=0
∴当0＜b＜1时，

lim

n→∞

Sn=1．