Question

在△ABC中，AC=

7

，AB=3，BC=2，M，N，P分别为AC，AB，BC中点，将△ABC沿MN，NP，MP折起得到三棱锥S-MNP，三棱锥S-MNP外接球的表面积为（　　）

• A、10π
• B、8π
• C、5π
• D、

  5

  2

  π

Answer 1

考点：球的体积和表面积

专题：空间位置关系与距离

分析：由已知可得将△ABC沿MN，NP，MP折起得到三棱锥S-MNP，相对的棱长相等，故三棱锥S-MNP的外接球可以转化为分别以六条棱为面对角线的长方体的外接球，求出球的半径后，代入球的表面积公式，可得答案．

解答： 解：∵在△ABC中，AC=

7

，AB=3，BC=2，M，N，P分别为AC，AB，BC中点，
将△ABC沿MN，NP，MP折起得到三棱锥S-MNP，
故SM=NP=

7

2

，SN=MP=

3

2

，SP=MN=1，
故三棱锥S-MNP的外接球可以转化为分别以六条棱为面对角线的长方体的外接球，
设长方体的长宽高分别为a，b，c，
则a²+b²=

7

4

，b²+c²=

9

4

，a²+c²=1．
即a²+b²+c²=

5

2

，
即长方体的外接球半径R满足：
（2R）²=4R²=

5

2

，
故三棱锥S-MNP外接球的表面积S=4πR²=

5

2

π，
故选：D

点评：本题考查的知识点是球的体积和表面积，其中根据已知条件求出球的半径是解答本题的关键．