Question

已知数列{a_n}的前n项和S_n=2a_n-2ⁿ⁺¹+2（n为正整数）．
（1）记c_n=

an

2n

，证明数列{c_n}为等差数列；  
（2）求数列{a_n}的通项公式；
（3）令b_n=log₂a₁+log₂

a2

2

+…+log₂

an

n

，求数列{

1

bn

}的前n项和T_n．

Answer 1

考点：数列的求和,等差数列的性质

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由S_n=2a_n-2ⁿ⁺¹+2，得

an+1

2n+1

=

an

2n

+1，由此能推导出数列{c_n}是首项为1，公差为1的等差数列．
（2）由（1）知，cn=n，又cn=

an

2n

，由此能求出an=n•2n．
（3）

1

bn

=2(

1

n

-

1

n+1

)，由此利用裂项求和法能求出数列{

1

bn

}的前n项和T_n．

解答： （本小题满分12分）．
（1）证明：由S_n=2a_n-2ⁿ⁺¹+2，得S_n+1=2a_n+1-2ⁿ⁺²+2，
作差，得：an+1=2an+1-2a1-2n+1，
即an+1=2an-2n+1，

an+1

2n+1

=

an

2n

+1，…（2分）
n=1时，a₁=2，c₁=1，
∴c_n+1=c_n+1，
∴数列{c_n}是首项为1，公差为1的等差数列．…（4分）
（2）解：由（1）知，cn=n，又cn=

an

2n

，
∴an=n•2n．…（8分）
（3）解：

an

n

=2n，log2

an

n

=n，bn=

n(n+1)

2

，

1

bn

=

2

n(n+1)

=2(

1

n

-

1

n+1

)，

Tn=2[(1- 1 2 )+( 1 2 - 1 3 )+…+( 1 n - 1 n+1 )]

=2（1-

1

n+1

）=

2n

n+1

．…（12分）

点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查数列的前n项和的求法，解题时要认真审题，注意裂项求和法的合理运用．