Question

已知向量

m

=（

3

cos

x

2

，0），

n

=（sin

x

2

，cos²

x

2

），f（x）=

m

•（

m

+

n

）．
（Ⅰ） 求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足（2a-c）cosB=bcosC，求函数f（A）的取值范围．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,平面向量数量积的运算

专题：计算题,三角函数的图像与性质,解三角形,平面向量及应用

分析：运用向量的数量积的坐标表示和二倍角公式，和差公式化简f（x），再由正弦函数的单调区间求出所求的单调区间；运用正弦定理，诱导公式，即可求出角B，由锐角三角形，求出角A的范围，再运用正弦函数的性质，即可得到所求的取值范围．

解答： 解：向量

m

=（

3

cos

x

2

，0），

n

=（sin

x

2

，cos²

x

2

），
f（x）=

m

•（

m

+

n

）=

m

2+

m

•

n

=3cos²

x

2

+

3

sin

x

2

cos

x

2

=

3

2

（1+cosx）+

3

2

sinx=

3

2

+

3

sin（x+

π

3

）．
（Ⅰ）由2kπ-

π

2

≤x+

π

3

≤2kπ+

π

2

，得2kπ-

5π

6

≤x≤2kπ+

π

6

，
则增区间为[2kπ-

5π

6

，2kπ+

π

6

]，k∈Z，
由2kπ+

π

2

≤x+

π

3

≤2kπ+

3π

2

，得2kπ+

π

6

≤x≤2kπ+

7π

6

，
则减区间为[2kπ+

π

6

，2kπ+

7π

6

]，k∈Z．
（Ⅱ）∵（2a-c）cosB=bcosC，
∴2sinAcosB=sinCcosB+cosCsinB=sin（B+C）
即有2cosB=1，B为锐角，则B=

π

3

，A+C=

2π

3

，
由于A，C为锐角，所以

π

6

＜A＜

π

2

，

π

2

＜A+

π

3

＜

5π

6

，
sin（A+

π

3

）∈（

1

2

，1），
则f（A）=

3

2

+

3

sin（A+

π

3

）的取值范围是（

3+ 3

2

，

3+2 3

2

）．

点评：本题考查平面向量的数量积的坐标表示和向量的平方即为模的平方，考查三角函数的恒等变换，及三角函数的单调区间，解三角形的有关知识，主要是正弦定理的运用，是一道综合题．