Question

设函数f（x）=e^x-1+

a

x

（a∈R）．
（1）若函数f（x）在x=1处有极值，且函数g（x）=f（x）+b在（0，+∞）上有零点，求b的最大值；
（2）若f（x）在（1，2）上为单调函数，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值,利用导数研究函数的单调性

专题：导数的综合应用

分析：（1）由函数f（x）在x=1处有极值，则f′（1=0，求得a的值，又g（x）在（0，+∞）上有零点，由g′（x）可知g（x）的单调性，满足g（x）的最小值小于或等于为0，求出b的最大值；
（2）由f（x）在（1，2）上为单调函数，则f′（x）≥0或f′（x）≤0在（1，2）上恒成立，求出a的范围．

解答： 解：（1）f′（x）=e^x-1-

a

x2

，
∵函数f（x）在x=1处有极值，∴f′（1）=1-a=0，得a=1，
∴g（x）=ex-1+

1

x

+b，g′（x）=ex-1-

1

x2

，∵g′（x）在（0，+∞）上单调递增，且g′（1）=0，
∴g（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，
∴g（x）的最小值为g（1）=2+b，∵函数g（x）=f（x）+b在（0，+∞）上有零点，∴2+b≤0，b≤-2
∴b的最大值为-2；
（2）：∵f（x）在（1，2）上为单调函数
∴①当f（x）为单调增函数时，则f′（x）=e^x-1-

a

x2

≥0，在（1，2）上恒成立，
a≤x²e^x-1，令h（x）=x²e^x-1，h（x）在（1，2）上单调递增，∴a≤h（x）_min=h（1）=1，∴a≤1；
②当f（x）为单调减函数时，则f′（x）=e^x-1-

a

x2

≤0，在（1，2）上恒成立，
a≥x²e^x-1，令h（x）=x²e^x-1，h（x）在（1，2）上单调递增，∴a≥h（x）_max=h（2）=4e，∴a≥4e；
综上得a的取值范围为（-∞，1]∪[4，+∞）．

点评：本题考查了函数的导数，极值，零点，最值，单调性等知识，运用了等价转换，分类讨论等数学思想，属于中档题．