Question

如图，在棱长为a的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中
（1）画出二面角A₁-BD-A的平面角；
（2）求出二面角A₁-BD-A的正切值．

Answer 1

考点：二面角的平面角及求法

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）取BD中点O，由已知得∠A₁OA是二面角A₁-BD-A的平面角．
（2）由AO=

1

2

AC=

1

2

2

a，AA₁=a，能求出二面角A₁-BD-A的正切值．

解答： 解：（1）取BD中点O，
∵在棱长为a的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，
A₁D=A₁B=

2

a，AB=AD=a，
∴A₁O⊥BD，AO⊥BD，
∴∠A₁OA是二面角A₁-BD-A的平面角．
（2）∵AO=

1

2

AC=

1

2

2

a，
AA₁=a，
∴tan∠A₁OA=

AA1

AO

=

a

1 2 2 a

=

2

，
∴二面角A₁-BD-A的正切值为

2

．

点评：本题考查二面角的平面角的作法，考查二面角的正切值的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．