Question

已知f（x）=x³+a^x2-a²x+2
（1）若a≠0，求函数f（x）的单调区间；
（2）若不等式2xlnx≤f′（x）+a²+1恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,利用导数求闭区间上函数的最值

专题：导数的综合应用

分析：（1）分类讨论，利用导数的正负，可得函数f（x）的单调区间．
（2）分离出参数a后，转化为函数的最值问题解决，注意函数定义域．

解答： 解：（1）f'（x）=3x²+2ax-a²=（x+a）（3x-a）
由f'（x）=0得x=-a或

a

3

，
（1）当a＞0时，
由f'（x）＜0，得-a＜x＜

a

3

．
由f'（x）＞0，得x＜-a或x＞

a

3

，
此时f（x）的单调递减区间为（-a，

a

3

），单调递增区间为（-∞，-a）和（

a

3

，+∞）．
（2）当a＜0时，
由f'（x）＜0，得

a

3

＜x＜-a，
由f'（x）＞0，得x＜

a

3

或x＞-a，
此时f（x）的单调递减区间为（

a

3

，-a），单调递增区间为（-∞，

a

3

）和（-a，+∞），
综上：当a＞0时，f单调递减区间为（-a，

a

3

），单调递增区间为（-∞，-a）和（

a

3

，+∞），
当a＜0时，（x）的单调递减区间为（

a

3

，-a），单调递增区间为（-∞，

a

3

）和（-a，+∞），
（2）依题意x∈（0，+∞），不等式2xlnx≤f′（x）+a²+1恒成立，
等价于2xlnx≤3x²+2ax+1在（0，+∞）上恒成立，可得a≥lnx-

3

2

x-

1

2x

，在（0，+∞）上恒成立，
设h（x）=lnx-

3

2

x-

1

2x

，则h′（x）=

1

x

-

3

2

+

1

2x2

=-

(x-1)(3x+1)

2x2

，
令h′（x）=0，得x=1，x=-

1

3

（舍），当0＜x＜1时，h′（x）＞0；当x＞1时，h′（x）＜0，
当x变化时，h′（x），h（x）变化情况如下表：

x	（0，1）	1	（1，+∞）
h′（x）	+	0	-
h（x）	单调递增	-2	单调递减

∴当x=1时，h（x）取得最大值，h（x）_max=-2，∴a≥-2．
∴a的取值范围是[-2，+∞）．

点评：本题考查了导数的几何意义、应用导数研究函数的单调性、求函数最值问题，不等式恒成立常转化为函数最值问题解决．