Question

10．已知函数f（x）=-$\frac{x^2}{2}$+x在区间[m，n]上的最小值是2m，最大值是2n，求m，n的值．

Answer 1

分析 对m和n的范围进行分类讨论，并根据函数的单调性表示出函数的最大值和最小值建立等式求得m和n．

解答 解：①当m＜n≤1时，函数在区间[m，n]上单调增，f（m）=-$\frac{{m}^{2}}{2}$+m=2m，f（n）=-$\frac{{n}^{2}}{2}$+n=2n，
求得m=-2，n=0．
②当1＜m＜n时，f（x）在[m，n]上递减，且f（x）＜$\frac{1}{2}$值域为[2m，2n]，2n＜$\frac{1}{2}$，矛盾
③m≤1＜n时，f（x）_mac=$\frac{1}{2}$，
若值域为[2m，2n]，
 则2n=$\frac{1}{2}$，n=$\frac{1}{4}$与n＞1矛盾
综上，符合条件的m，n的值为m=-2，n=0

点评 本题主要考查了二次函数的性质和分类讨论思想的运用．应能熟练掌握二次函数求最值的方法．