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已知函数的导函数是处取得极值,且
(Ⅰ)求的极大值和极小值;
(Ⅱ)记在闭区间上的最大值为,若对任意的总有成立,求的取值范围;
(Ⅲ)设是曲线上的任意一点.当时,求直线OM斜率的最小值,据此判断的大小关系,并说明理由.
(Ⅰ)的极大值为,极小值为;(Ⅱ)的取值范围是:;(Ⅲ)直线OM斜率的最小值为4;,证明详见解析.

试题分析:(Ⅰ)由已知,首先利用求出,再由,从而得,其导函数,利用求函数极值的一般方法及一般步骤列表即可求得函数的极大值和极小值;(Ⅱ)在(Ⅰ)的基础上,分两种情形讨论.①当时,由(I)知上递增,所以的最大值,问题转化为;②当时,的最大值,由对任意的恒成立,等价于,进而可求得的取值范围;(Ⅲ)由已知易得直线斜率,由于,易得直线斜率的最小值为4.当时,有,故,可以构造函数,利用导数证明恒成立,从而证得
试题解析:(I)依题意,,解得,                    1分
由已知可设,因为,所以,则,导函数.                                 3分
列表:


1
(1,3)
3
(3,+∞)

+
0
-
0
+

递增
极大值4
递减
极小值0
递增
由上表可知处取得极大值为处取得极小值为.                                       5分
(Ⅱ)①当时,由(I)知上递增,所以的最大值,    6分
对任意的恒成立,得,则,因为,所以,则,因此的取值范围是.            8分
②当时,因为,所以的最大值,由对任意的恒成立,得, ∴,因为,所以,因此的取值范围是
综上①②可知,的取值范围是.                          10分
(Ⅲ)当时,直线斜率,因为,所以,则,即直线斜率的最小值为4.            11分
首先,由,得.
其次,当时,有,所以,                12分
证明如下:记,则,所以递增,又,则恒成立,即,所以 .              14分.
练习册系列答案
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(Ⅱ)若在(1,+)恒成立,求实数a的取值范围.

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已知函数
(1)求函数的极值点;
(2)若上为单调函数,求的取值范围;
(3)设,若在上至少存在一个,使得成立,求的取值范围.

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已知函数.
(Ⅰ)若,求函数的极值,并指出是极大值还是极小值;
(Ⅱ)若,求证:在区间上,函数的图像在函数的图像的下方.

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已知函数
(1)当时,如果函数仅有一个零点,求实数的取值范围;
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已知函数.
(I)当时,求的单调区间
(Ⅱ)若不等式有解,求实数m的取值菹围;
(Ⅲ)定义:对于函数在其公共定义域内的任意实数,称的值为两函数在处的差值。证明:当时,函数在其公共定义域内的所有差值都大干2。

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已知函数,曲线在点处切线方程为.
(1)求的值;
(2)讨论的单调性,并求的极大值.

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科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

已知函数
(1)如果存在零点,求的取值范围
(2)是否存在常数,使为奇函数?如果存在,求的值,如果不存在,说明理由。

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科目:高中数学 来源:不详 题型:单选题

,且函数上存在反函数,则(    )
A.B.
C.D.

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