试题分析:(Ⅰ)由已知,首先利用
求出
,再由
得
,从而得
,其导函数
,利用求函数极值的一般方法及一般步骤列表即可求得函数
的极大值和极小值;(Ⅱ)在(Ⅰ)的基础上,分
,
两种情形讨论.①当
时,由(I)知
在
上递增,所以
的最大值
,问题转化为
;②当
时,
的最大值
,由
对任意的
恒成立,等价于
,进而可求得
的取值范围;(Ⅲ)由已知易得直线
斜率
,由于
,易得直线
斜率的最小值为4.当
时,有
,故
,可以构造函数
,利用导数证明
在
恒成立,从而证得
.
试题解析:(I)依题意,
,解得
, 1分
由已知可设
,因为
,所以
,则
,导函数
. 3分
列表:
|
| 1
| (1,3)
| 3
| (3,+∞)
|
| +
| 0
| -
| 0
| +
|
| 递增
| 极大值4
| 递减
| 极小值0
| 递增
|
由上表可知
在
处取得极大值为
,
在
处取得极小值为
. 5分
(Ⅱ)①当
时,由(I)知
在
上递增,所以
的最大值
, 6分
由
对任意的
恒成立,得
,则
,因为
,所以
,则
,因此
的取值范围是
. 8分
②当
时,因为
,所以
的最大值
,由
对任意的
恒成立,得
, ∴
,因为
,所以
,因此
的取值范围是
.
综上①②可知,
的取值范围是
. 10分
(Ⅲ)当
时,直线
斜率
,因为
,所以
,则
,即直线
斜率的最小值为4. 11分
首先,由
,得
.
其次,当
时,有
,所以
, 12分
证明如下:记
,则
,所以
在
递增,又
,则
在
恒成立,即
,所以
. 14分.