Question

20．设函数f（x）=|x+2|-|x-2|．
（1）解不等式f（x）≥2；
（2）当x∈R，0＜y＜1时，证明：|x+2|-|x-2|≤$\frac{1}{y}$+$\frac{1}{1-y}$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）运用绝对值的定义，去掉绝对值，得到分段函数，再由各段求范围，最后求并集即可；
（II）由分段函数可得f（x）的最大值，再由基本不等式求得$\frac{1}{y}$+$\frac{1}{1-y}$的最小值，即可得证．

解答 解：（Ⅰ）由已知可得：$f（x）=\left\{{\begin{array}{l}{4，x≥2}\\{2x，-2＜x＜2\;}\\{-4，\;\;\;x≤-2}\end{array}}\right.$，
由x≥2时，4＞2成立；-2＜x＜2时，2x≥2，即有x≥1，则为1≤x＜2．
故f（x）≥2的解集为{x|x≥1}．-----（5分）
（II）由（Ⅰ）知，∴$|{x+2}|-|{x-2}|≤\frac{1}{y}+\frac{1}{1-y}$；
∴$\frac{1}{y}$+$\frac{1}{1-y}$=（$\frac{1}{y}$+$\frac{1}{1-y}$）[y+（1-y）]=2+$\frac{1-y}{y}$+$\frac{y}{1-y}$≥4，
∴$|{x+2}|-|{x-2}|≤\frac{1}{y}+\frac{1}{1-y}$．…（10分）

点评 本题考查绝对值不等式的解法，考查不等式恒成立，注意转化为函数的最值，考查基本不等式的运用：求最值，考查运算能力，属于中档题．