Question

6．已知双曲线x²-$\frac{{y}^{2}}{4}$=1，试问：是否存在过点A（2，1）的直线与双曲线交于相异两点P、Q．且点A平分线段PQ？

Answer 1

分析 假设存在这样的直线，设出P，Q的坐标，代入双曲线方程，两式相减，根据中点的坐标可知x₁+x₂和y₁+y₂的值，进而求得直线PQ的斜率，根据点斜式求得直线的方程，再加以检验即可判断．

解答 解：假设存在这样的直线，点A平分线段PQ．
设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
则x₁+x₂=4，y₁+y₂=2，
∵4x₁²-y₁²=4，4x₂²-y₂²=4，
∴16（x₁-x₂）-2（y₁-y₂）=0，
∴k_PQ=8，
∴直线的方程为y-1=8（x-2），即8x-y-15=0．
联立双曲线方程，消去y，可得60x²-240x+229=0，
由判别式为240²-4×60×229＞0，
可得存在这样的直线，点A平分线段PQ．

点评 涉及弦长的中点问题，常用“点差法”设而不求，将弦所在直线的斜率、弦的中点坐标联系起来，相互转化．