Question

16．数列{a_n}满足a_n+1=$\frac{{a}_{n}^{2}-{a}_{n-1}+2{a}_{n}}{{a}_{n-1}+1}$（n=2，3，…），a₂=1，a₃=3，则a₇=63．

Answer 1

分析 a_n+1=$\frac{{a}_{n}^{2}-{a}_{n-1}+2{a}_{n}}{{a}_{n-1}+1}$=$\frac{（{a}_{n}+1）^{2}-（{a}_{n+1}+1）}{{a}_{n-1}+1}$，可得（a_n+1+1）（a_n-1+1）=$（{a}_{n}+1）^{2}$，再利用等比数列的通项公式即可得出．

解答 解：a_n+1=$\frac{{a}_{n}^{2}-{a}_{n-1}+2{a}_{n}}{{a}_{n-1}+1}$=$\frac{（{a}_{n}+1）^{2}-（{a}_{n+1}+1）}{{a}_{n-1}+1}$，可得（a_n+1+1）（a_n-1+1）=$（{a}_{n}+1）^{2}$，
可得数列{a_n+1}为等比数列，公比q=$\frac{{a}_{3}+1}{{a}_{2}+1}$=$\frac{4}{2}$=2．
∴a_n+1=$（{a}_{2}+1）×{q}^{n-2}$．
∴a₇+1=2×2⁵，解得a₇=63．
故答案为：63．

点评 本题考查了数列递推关系、等比数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．