Question

6．已知向量$\overrightarrow{a}$=（1，2），$\overrightarrow{b}$=（x，1）；
（1）若（$\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow{b}$）⊥（2$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$）时，求x的值；
（2）若向量$\overrightarrow{a}$与向量$\overrightarrow{b}$的夹角为锐角，求x的取值范围．

Answer 1

分析 （1）先写出$\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b}$和$2\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}$的坐标，根据（$\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow{b}$）⊥（2$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$）便有（$\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow{b}$）•（2$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$）=0，这样即可求出x值；
（2）向量$\overrightarrow{a}$与向量$\overrightarrow{b}$的夹角为锐角时便有，$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}＞0$，并且$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$不平行，这样便可建立关于x的不等式组，从而得出x的取值范围．

解答 解：（1）$\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b}=（1+2x，4）$，$2\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}=（2-x，3）$；
∵$（\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b}）⊥（2\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}）$；
∴$（\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b}）•（2\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}）$=（1+2x）（2-x）+12=0；
解得x=-2，或$\frac{7}{2}$；
（2）若向量$\overrightarrow{a}$与向量$\overrightarrow{b}$的夹角为锐角，则$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}＞0$，且$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$不平行；
∴$\left\{\begin{array}{l}{x+2＞0}\\{1-2x≠0}\end{array}\right.$；
∴x＞-2，且$x≠\frac{1}{2}$；
∴x的取值范围为$\{x|x＞-2，且x≠\frac{1}{2}\}$．

点评 考查向量垂直的充要条件，向量加法和数乘的坐标运算，向量数量积的坐标运算，以及向量数量积的计算公式，向量平行时的坐标关系．