Question

15．在△ABC中，内角A、B、C的对边分别是a、b、c，且b²+^_c2-a²=bc．
（1）求A；
（2）若a=$\sqrt{2}$，sinBsinC=sin²A，求△ABC的面积S．

Answer 1

分析 （1）由已知结合余弦定理可得cosA=$\frac{1}{2}$，结合范围A∈（0，π），可求A的值．
（2）由已知及正弦定理得bc=a²=2，进而利用三角形面积公式即可计算得解．

解答 解：（1）∵b²+^_c2-a²=bc，
∴由余弦定理可得：$cosA=\frac{{{b^2}+{c^2}-{a^2}}}{2bc}=\frac{bc}{2bc}=\frac{1}{2}$，
又∵A∈（0，π），
∴$A=\frac{π}{3}$．
（2）由a=$\sqrt{2}$，sinBsinC=sin²A及正弦定理得：bc=a²=2，
所以，$S=\frac{1}{2}bcsinA=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$．

点评 本题主要考查了余弦定理，正弦定，三角形面积公式在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题．