Question

如图，已知⊙与⊙外切于点，是两圆的外公切线，，为切点，与 的延长线相交于点，延长交⊙于 点，点在延长线上．

（1）求证：是直角三角形；

（2）若，试判断与能否一定垂直？并说明理由．

（3）在（2）的条件下，若，，求的值．

Answer 1

(1)证明略；（2）；（3）

【解析】

试题分析：（1）从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线，平分两条切线的夹角；（2）判断三角形相似：一是平行于三角形一边的直线截其它两边所在的直线，截得的三角形与原三角形相似；二是如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等, 那么这两个三角形相似；三是如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等, 　那么这两个三角形相似；四是如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似；五是对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角；（3）切割线定理：切割线定理，是圆幂定理的一种，从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项.

试题解析：解：（1）证明：过点作两圆公切线交于，由切线长定理得

，∴为直角三角形                  3分

（2）

证明：∵，

∴，又，          

∴∽

∴即．                        6分

（3）由切割线定理，，

∴

∴．                                              9分

考点：（1）切线长定理；（2）相似三角形的应用；（3）切割线定理的应用.