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    【题目】选修4﹣1：平面几何
    如图AB是⊙O的直径，弦BD，CA的延长线相交于点E，EF垂直BA的延长线于点F．

    （1）求证：∠DEA=∠DFA；
    （2）若∠EBA=30°，EF= ，EA=2AC，求AF的长．

    【答案】
    （1）证明：连接AD，BC．

    因为AB是⊙O的直径，所以∠ADB=∠ACB=∠EFA=90°，

    故A，D，E，F四点共圆，

    ∴∠DEA=∠DFA；


    （2）解：在直角△EFA和直角△BCA中，∠EAF=∠CAB，

    所以△EFA∽△BCA，所以

    所以AF×AB=AC×AE

    设AF=a，则AB=3﹣a，所以a（3﹣a）= ，所以a2﹣2a+1=0，解得a=1

    所以AF的长为1．


    【解析】（1）连接AD，BC，证明A，D，E，F四点共圆，可得结论；（2）证明△EFA∽△BCA，可得 ，所以AF×AB=AC×AE，从而可求AF的长．

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