Question

【题目】已知函数是关于的偶函数.

(1)求的值；

(2)求证: 对任意实数，函数的图象与函数的图象最多只有一个交点.

Answer 1

【答案】（1）；（2）证明见解析.

【解析】

（1）通过函数是关于的偶函数，可得恒成立，可得

恒成立，从而可求的值；(2) 由, 得, 所以 ，令，利用单调性的定义可证明在上单调递减，从而可得结论.

(1)因为f(x)是关于x的偶函数,

所以log2(2 - x + 1) + k( - x) = log2(2x + 1) + kx, 即2kx = log2= - x, 解得k = -.

(2) 由, 得log2(2x + 1) -x =x + m,

所以 m = log2(2x + 1) -x = log2(1 +). 令h(x) = log2(1 +),

设x1, x2 R, 且x1 < x2, 则>, 所以log2(1 +) > log2(1 +),

所以h(x1) – h(x2) = log2(1 +) - log2(1 +) > 0, 即 h(x1) > h(x2), ∴ h(x)在R上单调递减.

因此, 函数y = h(x)的图象与直线y = m的图象最多只有一个交点. 所以, 对任意实数m, 函数y = f(x)的图象与直线y =x + m的图象最多只有一个交点.