Question

【题目】已知圆C1：（x+1）2+y2=25，圆C2：（x﹣1）2+y2=1，动圆C与圆C1和圆C2均内切．

（1）求动圆圆心C的轨迹E的方程；
（2）点P（1，t）为轨迹E上点，且点P为第一象限点，过点P作两条直线与轨迹E交于A，B两点，直线PA，PB斜率互为相反数，则直线AB斜率是否为定值，若是，求出定值；若不是，请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：圆C1：（x+1）2+y2=25的圆心C1（﹣1，0），半径r1=5；圆C2：（x﹣1）2+y2=1的圆心C2（1，0），半径r2=1．

设动圆C的圆心C（x，y），半径r．

∵动圆C与圆C1，圆C2均内切，

∴|C1C|=5﹣r，|C2C|=r﹣1．

∴|C1C|+|C2C|=5﹣1=4＞|C1C2|=2，

因此动点C的轨迹是椭圆，且2a=4，2c=2，得a=2，c=1，

∴b2=a2﹣c2=3．

因此动圆圆心C的轨迹E方程是 ；

（2）解：如图，

∵点P（1，t）为轨迹E上点，且点P为第一象限点，

∴ ，解得t= ，

∴P（1， ），

设PA所在直线方程为y﹣ ，则PB所在直线方程为 ，

联立 ，得（3+4k2）x2﹣（8k2﹣12k）x+4k2﹣12k﹣3=0，

则 ，

∴ ， ，

取k为﹣k，可得 ，

∴ ．

∴直线AB斜率为定值 ．

【解析】（1）圆（x+1）2+y2=1的圆心C1（﹣1，0），半径r1=1；圆（x﹣1）2+y2=25的圆心C2（1，0），半径r2=5．设动圆C的圆心C（x，y），半径r．由于动圆C与圆（x+1）2+y2=1及圆（x﹣1）2+y2=25都内切，可得|C1C|=r﹣1，|C2C|=5﹣r．于是|C1C|+|C2C|=5﹣1=4＞|C1C2|=2，利用椭圆的定义可知：动点C的轨迹是椭圆；（2）把P的坐标代入椭圆方程，求得t值，然后设出过PA的直线方程，PB的直线方程，联立直线方程和椭圆方程，求得A，B的坐标，代入斜率公式可得直线AB斜率为定值 ．