Question

12．如图，四边形ABCD为平行四边形，AB=5，AD=4，BD=3，将△BCD沿着BD翻折到平面BC₁D处，E，F分别为边AB，C₁D的中点．
（Ⅰ）求证：EF∥平面BCC₁；
（Ⅱ）若异面直线EF，BC₁所成的角为30°，求直线C₁D与平面ABCD所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）先连接CC₁，取CC₁的中点G，并连接FG，BG，从而可说明四边形FGBE为平行四边形，从而得到EF∥BG，根据线面平行的判定定理即可得到EF∥平面BCC₁；
（Ⅱ）容易说明∠C₁BG=30°，从而得到∠C₁BC=60°，从而△BCC₁为等边三角形，能够说明直线AB⊥平面BCC₁，从而得到平面ABCD⊥平面BCC₁．取BC中点H，连接C₁H，从而有C₁H⊥BC，根据面面垂直的性质定理即知C₁H⊥平面ABCD，连接DH，∠C₁DH便是直线C₁D和平面ABCD所成的角，根据已知边的长度即可求C₁D，C₁H，从而能求出sin∠C₁DH．

解答 解：（Ⅰ）证明：连接CC₁，取CC₁的中点G，连接FG，BG，则：
∵四边形ABCD是平行四边形，E，F分别为AB，C₁D的中点；
∴FG∥BE，且FG=BE；
∴四边形BEFG是平行四边形；
∴EF∥BG，BG?平面BCC₁，EF?平面BCC₁；
∴EF∥平面BCC₁；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，∠C₁BG为异面直线EF，BC₁所成的角，∴∠C₁BG=30°，∠C₁BC=60°；
又BC=BC₁，∴△C₁BC为等边三角形；
AB=5，AD=4，BD=3，∴∠ADB=∠CBD=∠C₁BD=90°；
∴BD⊥BC，BD⊥BC₁，且BC∩BC₁=B；
∴BD⊥平面BCC₁；
∴平面ABCD⊥平面BCC₁，平面ABCD∩平面BCC₁=BC；
取BC中点H，连接C₁H，则C₁H⊥平面ABCD；
连接DH，则∠C₁DH即为直线C₁D和平面ABCD所成的角；
∴$sin∠{C}_{1}DH=\frac{{C}_{1}H}{{C}_{1}D}=\frac{2\sqrt{3}}{5}$；
∴直线C₁D与平面ABCD所成角的正弦值为$\frac{2\sqrt{3}}{5}$．

点评 考查三角形中位线的性质，平行四边形的定义，线面平行的判定定理，异面直线所成角的定义，线面垂直、面面垂直的判定定理，以及面面垂直的性质定理，线面角的定义及求法．