Question

已知函数， ．

(1)求在点处的切线方程；

(2)证明: 曲线与曲线有唯一公共点；

(3)设，比较与的大小, 并说明理由.

 

Answer 1

(1);(2)祥见解析; （3）.

【解析】

试题分析：(1)由于为切点，利用导数的几何意义求出x=1处的切线的斜率，利用点斜式求出切线方程，化成一般式即可；(2)要证两曲线有唯一公共点，只须证两个函数的差函数有唯一零点，注意到差函数在x=0处的函数值为零，所以只须用导数证明此函数在R上是一单调函数即可；（3）要比较两个式子的大小，一般用比差法：作差，然后对差式变形，最后确定差式的符号．此题作差后字母较多，注意观察，可构造函数，用导数对函数的单调性进行研究，从而达到确定符号的目的．

试题解析：(1)，则，点处的切线方程为：,即

(2)令 ，，则，，且，，因此，

当时，，单调递减；

当时，，单调递增.

所以，所以在上单调递增，又，即函数有唯一零点，

所以曲线与曲线有唯一公共点.

（3）设

令,则,

所以在上单调递增,且,因此,从而在上单调递增,而,所以在上;即当时, ,又因为,所以有;所以当时, .

考点：１．导数的几何意义；２．导数研究函数的单调性．