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国际上钻石的重量计量单位为克拉.已知某种钻石的价值v(美元)与其重量w(克拉)的平方成正比,且一颗重为3克拉的该种钻石的价值为54000美元.
(Ⅰ)若把一颗钻石切割成重量比为1:3的两颗钻石,求价值损失的百分率;
(Ⅱ)试用你所学的数学知识证明:把一颗钻石切割成两颗钻石时,按重量比为1:1切割,价值损失的百分率最大.
(注:价值损失的百分率=
原有价值-现有价值原有价值
×100%
;在切割过程中的重量损耗忽略不计)
分析:(Ⅰ)先由题意可设价值与重量的关系式为:y=kx2,再根据3克拉的价值是54000美元求得k值,即可求得此钻石的价值与重量的函数关系式;
(Ⅱ)解法一:若把一颗钻石按重量比为m:n切割成两颗,确定价值损失的百分率,利用基本不等式可得结论;
解法二:设一颗钻石切割成两颗,其重量比为1:x,确定价值损失的百分率,利用基本不等式可得结论.
解答:解:(Ⅰ)依题意设v=kw2,又当w=3时,v=54000,∴k=6000,故v=kw2=6000w2.…(4分)
设这颗钻石的重量为a克拉,则按重量比为1:3切割后的价值为6000(
1
4
a)2+6000(
3
4
a)2

价值损失为6000a2-[6000(
1
4
a)2+6000(
3
4
a)2]

价值损失的百分率为
6000a2-[6000(
1
4
a)
2
+6000(
3
4
a)
2
]
6000a2
=0.375=37.5%

答:价值损失的百分率为37.5%.…(8分)
(Ⅱ)解法一:若把一颗钻石按重量比为m:n切割成两颗,价值损失的百分率应为1-[(
m
m+n
)2+(
n
m+n
)2]=
2mn
(m+n)2
,又
2mn
(m+n)2
2•(
m+n
2
)
2
(m+n)2
=
1
2

等号当且仅当m=n时成立.即重量比为1:1时,价值损失的百分率达到最大…(13分)
解法二:设一颗钻石切割成两颗,其重量比为1:x,则价值损失的百分率为1-[(
1
1+x
)2+(
x
1+x
)2]=
2x
x2+2x+1

又x>0,∴x2+1≥2x,故
2x
x2+2x+1
2x
2x+2x
=
1
2

等号当且仅当x=1时成立.故当重量比为1:1时,价值损失的百分率达到最大…(13分)
点评:本小题主要考查函数模型的选择与应用,属于中档题.解决实际问题通常有四个步骤:(1)阅读理解,认真审题;(2)引进数学符号,建立数学模型;(3)利用数学的方法,得到数学结果;(4)转译成具体问题作出解答,其中关键是建立数学模型.
练习册系列答案
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科目:高中数学 来源: 题型:

国际上钻石的重量计量单位为克拉.已知某种钻石的价值(美元)与其重量(克拉)的平方成正比,且一颗重为3克拉的该钻石的价值为54000美元.
(Ⅰ)写出钻石的价值y关于钻石重量x的函数关系式;
(Ⅱ)把一颗钻石切割成两颗钻石,若两颗钻石的重量分别为m克拉和n克拉,试证明:当m=n时,价值损失的百分率最大.
(注:价值损失的百分率=
原有价值-现有价值原有价值
×100%
;在切割过程中的重量损耗忽略不计)

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科目:高中数学 来源: 题型:

国际上钻石的重量计量单位为克拉.已知某钻石的价值V(美元)与其重量W(克拉)的平方成正比,且一颗重为3克拉的该种钻石的价值为54000美元.
(1)写出V关于W的函数关系式;
(2)若把一颗钻石切割成重量比为1:3的两颗钻石,求价值损失的百分率;
(3)把一颗钻石切割成两颗钻石,若两颗钻石的重量分别为M克拉和N克拉,试用你所学的数学知识证明:当M=N时,价值损失的百分率最大.(注:价值损失的百分率=
原有价值-现有价值原有价值
×100
%;在切割过程中的重量损耗忽略不计).

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科目:高中数学 来源: 题型:

国际上钻石的重量计量单位为克拉.已知某种钻石的价值(美元)与其重量(克拉)的平方成正比,且一颗重为3克拉的该钻石的价值为54000美元.
(Ⅰ)写出钻石的价值y关于钻石重量x的函数关系式;
(Ⅱ)若把一颗钻石切割成重量比为1:3的两颗钻石,求价值损失的百分率.
(注:价值损失的百分率=
原有价值-现有价值原有价值
×100%
;在切割过程中的重量损耗忽略不计)

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科目:高中数学 来源: 题型:

国际上钻石的重量计量单位为克拉,已知某种钻石的价值v(美元)与其重量w(克拉)的平方成正比,且一颗重为3克拉的该种钻石的价值为54000美元.
(I)写出v关于w的函数关系式;
(II)若把一颗钻石切割成重量比为1:x(x≥1)的两颗钻石,价值损失的百分率为y,写出y关于x的函数关系式;
(III)试证明:把一颗钻石切割成两颗钻石时,按重量比为1:1切割,价值损失的百分率最大.
(注:价值损失的百分率=
原有价值-现有价值原有价值
×100%,在切割过程中的重量损耗忽略不计)

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科目:高中数学 来源: 题型:

国际上钻石的重量计量单位为克拉,已知某钻石的价值y(美元)与其重量x(克拉)的平方成正比,若一颗重为3克拉的该种钻石的价值为54000美元.
(1)求y关于x的函数关系式;
(2)把一颗钻石切割成两颗钻石时,钻石的总价值(不计切割时的损耗),现在将一颗钻石按重量比1:3切割成两颗钻石,求价值损失的百分比p.

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