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在平面直角坐标系xOy中,抛物线C的顶点在原点,经过点A(2,2),其焦点F在x轴上.
(1)求抛物线C的标准方程;
(2)设直线l是抛物线的准线,B在抛物线上且AB经过焦点F,求证:以AB为直径的圆与准线l相切.
分析:(1)设抛物线C的标准方程为y2=2px,代入题中A点的坐标求出p的值,即可得到抛物线C的标准方程;
(2)设直线AB的方程为:x=ty+
1
2
,与y2=2x联解得到AB中点的坐标为M(t2+
1
2
,t),从而得到M到准线的距离d=1+t2.因为抛物线的焦点弦AB长为2+2t2,得到d=
1
2
|AB|,所以以AB为直径的圆与准线l相切,命题得证.
解答:解:(1)∵抛物线C的顶点在原点,焦点F在x轴上
∴设抛物线C的标准方程为y2=2px(p>0)
∵点A(2,2)在抛物线上,
∴22=2p•2,解得p=1,可得抛物线C的标准方程为y2=2x;
(2)设直线AB的方程为:x=ty+
1
2
,与y2=2x消去x,得y2-2ty-1=0
设A(x1,y1),B(x2,y2),AB的中点为M(m,n),
由根与系数的关系,得y1+y2=2t,可得n=
1
2
(y1+y2)=t
代入直线方程,得m=
1
2
(1+2t2
∴点M到准线l的距离为d=m+
1
2
=
1
2
(1+2t2)+
1
2
=1+t2
又∵AB是经过抛物线焦点的弦,
∴|AB|=x1+x2+p=2m+1=(1+2t2)+1=2(1+t2
即点M到准线l的距离为d=1+t2=
1
2
|AB|,可得以AB为直径的圆与准线l相切.
点评:本题给出抛物线经过点A(2,2),求抛物线方程并证明以AB为直径的圆与准线相切,着重考查了抛物线的标准方程与简单几何性质等知识,属于中档题.
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2
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x2
a2
+
y2
9
=1(a>0)
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3
5
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12
13
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16
65
16
65

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x2
m
+
y2
3
=1
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1
2
,则m的值为
4
4

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3t
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x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的左焦点为F1(-1,0),且椭圆C的离心率e=
1
2

(1)求椭圆C的方程;
(2)设椭圆C的上下顶点分别为A1,A2,Q是椭圆C上异于A1,A2的任一点,直线QA1,QA2分别交x轴于点S,T,证明:|OS|•|OT|为定值,并求出该定值;
(3)在椭圆C上,是否存在点M(m,n),使得直线l:mx+ny=2与圆O:x2+y2=
16
7
相交于不同的两点A、B,且△OAB的面积最大?若存在,求出点M的坐标及对应的△OAB的面积;若不存在,请说明理由.

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