Question

已知△ABC的三边长分别为AB=8，BC=7，AC=3，以点A为圆心，r=2为半径作一个圆，设PQ为⊙A的任意一条直径，记T=

BP

•

CQ

，求T的最大值和最小值，并证明当T取最大值和最小值时，PQ的位置特征是什么．

Answer 1

分析：本题考查的知识点是平面向量的数量积运算，由AB=8，BC=7，AC=3，以点A为圆心，r=2为半径作一个圆，设PQ为圆A的任意一条直径，我们易得T=8+

AP

•

CB

，又由|

AP

|=2，|

BC

|=7，我们可得当

AP

与

CB

同向时，T取最大值．当

AP

与

CB

反向时，T取最小值．

解答：解：T=

BP

•

CQ

AP

•

CB

=(

BA

+

AP

)•(

CA

+

AQ

)
=(

BA

+

AP

)•(

CA

-

AP

)
=

BA

•

CA

+

AP

•(

CA

-

BA

)-

AP

2
=8+

AP

•(

CA

-

BA

)
=8+

AP

•

CB

由|

AP

|=2，|

BC

|=7
故T的最大值为22，T的最小值为-6
此时PQ与BC平行．

点评：如果两个非量平面向量平行（共线），则它们的方向相同或相反，此时他们的夹角为0或π．当它们同向时，夹角为0，此时向量的数量积，等于他们模的积，有最大值；当它们反向时，夹角为π，此时向量的数量积，等于他们模的积的相反数，有最小值．如果两个向量垂直，则它们的夹角为π2，此时向量的数量积，等于0．