Question

17．已知函数f（x）=|lnx|，关于x的不等式f（x）-f（x₀）≥c（x-x₀）的解集为（0，+∞），其中x₀∈（0，+∞），c为常数．当x₀=1时，c的取值范围是[-1，1]；当${x_0}=\frac{1}{2}$时，c的值是-2．

Answer 1

分析 当0＜x＜1时，f（x）=-lnx，f′（x）=-$\frac{1}{x}$∈（-∞，-1），当x＞1时，f（x）=lnx，f′（x）=$\frac{1}{x}$∈（0，1），进而将x₀=1和${x_0}=\frac{1}{2}$代入，结果斜率公式分类讨论可得答案．

解答 解：∵函数f（x）=|lnx|，
当0＜x＜1时，f（x）=-lnx，f′（x）=-$\frac{1}{x}$∈（-∞，-1），
当x＞1时，f（x）=lnx，f′（x）=$\frac{1}{x}$∈（0，1），
①当x₀=1时，f（x）-f（x₀）≥c（x-x₀）可化为：f（x）-f（1）≥c（x-1）
当0＜x＜1时，f（x）-f（1）≥c（x-1）可化为：$\frac{f（x）-f（1）}{x-1}$≤c，则c≥-1，
当x＞1时，f（x）-f（1）≥c（x-1）可化为：$\frac{f（x）-f（1）}{x-1}$≥c，则c≤1，
故c∈[-1，1]；
②当x₀=$\frac{1}{2}$时，f（x）-f（x₀）≥c（x-x₀）可化为：f（x）-f（$\frac{1}{2}$）≥c（x-$\frac{1}{2}$）
当0＜x＜$\frac{1}{2}$时，f（x）-f（$\frac{1}{2}$）≥c（x-$\frac{1}{2}$）可化为：$\frac{f（x）-f（\frac{1}{2}）}{x-\frac{1}{2}}$≤c，则c≥f′（$\frac{1}{2}$）=-2，
当$\frac{1}{2}$＜x＜1时，f（x）-f（$\frac{1}{2}$）≥c（x-$\frac{1}{2}$）可化为：$\frac{f（x）-f（\frac{1}{2}）}{x-\frac{1}{2}}$≥c，则c≤f′（$\frac{1}{2}$）=-2，
当x＞1时，f（x）-f（$\frac{1}{2}$）≥c（x-$\frac{1}{2}$）可化为：$\frac{f（x）-f（\frac{1}{2}）}{x-\frac{1}{2}}$≥c，则c≤1，
故c=-2，
故答案为：[-1，1]，-2

点评 本题考查的知识点是分段函数的应用，对数函数的图象与性质，导数的几何意义，难度中档．