Question

9．已知函数f（x）=4x-$\frac{2}{1+c}$x²，g（x）=$\frac{4c}{1+c}$lnx．
（1）若直线l与函数f（x），g（x）的图象均相切，且与g（x）图象切点的横坐标为e（e是自然对数的底数），求c的值．
（2）若c＜1，试讨论函数f（x）-g（x）的单调性．
（3）若c＞1，记f（x）-g（x）的极大值为M（c），极小值为N（c），讨论函数h（c）=M（c）-N（c）-$\frac{a}{c+1}$（a为实数）的零点个数．

Answer 1

分析 （1）求出g（x）的导数，可得切线的斜率和切点，求得切线的方程，再求f（x）的导数，可得l与f（x）图象相切的切点的横坐标，进而得到纵坐标，代入f（x），可得c的值；
（2）设F（x）=f（x）-g（x）=4x-$\frac{2}{1+c}$x²-$\frac{4c}{1+c}$lnx，求出F（x）的导数，对c讨论，分c≤0时，0＜c＜1，由导数大于0，可得增区间；导数小于0，可得减区间；
（3）c＞1时，由f（x）-g（x）在（1，c）递增；在（0，1），（c，+∞）递减．可得x=c取得极大值；x=1处取得极小值，可得h（c）的解析式，可令h（c）=0，化简可得a=2c²-4clnc-2，设m（c）=2c²-4clnc-2，c＞1，求得m（c）的导数，可得单调性，对a讨论，分a≤0，a＞0，即可得到所求零点的个数．

解答 解：（1）g（x）=$\frac{4c}{1+c}$lnx的导数为g′（x）=$\frac{4c}{1+c}$•$\frac{1}{x}$，
可得g（x）在x=e处的切线的斜率为$\frac{4c}{e（1+c）}$，
切点为（e，$\frac{4c}{1+c}$），
可得切线l的方程为y-$\frac{4c}{1+c}$=$\frac{4c}{e（1+c）}$（x-e），
即为y=$\frac{4c}{e（1+c）}$x，
函数f（x）=4x-$\frac{2}{1+c}$x²的导数为f′（x）=4-$\frac{4}{1+c}$x，
设l与f（x）的切点为（m，n），
则4-$\frac{4}{1+c}$m=$\frac{4c}{e（1+c）}$，解得m=1+c-$\frac{c}{e}$，
则n=$\frac{4c}{e（1+c）}$（1+c-$\frac{c}{e}$），
即有$\frac{4c}{e（1+c）}$（1+c-$\frac{c}{e}$）=4（1+c-$\frac{c}{e}$）-$\frac{2}{1+c}$（1+c-$\frac{c}{e}$）²，
化简可得c=$\frac{e}{1-e}$；
（2）设F（x）=f（x）-g（x）=4x-$\frac{2}{1+c}$x²-$\frac{4c}{1+c}$lnx，
则F′（x）=4-$\frac{4}{1+c}$x-$\frac{4c}{1+c}$•$\frac{1}{x}$
=-4•$\frac{（x-1）（x-c）}{（1+c）x}$，
若c≤0时，由F′（x）＞0可得0＜x＜1；
由F′（x）＜0可得x＞1；
若0＜c＜1时，由F′（x）＞0可得c＜x＜1；
由F′（x）＜0可得0＜x＜c或x＞1．
综上可得，c≤0时，函数f（x）-g（x）在（0，1）递增；
在（1，+∞）递减；
0＜c＜1时，函数f（x）-g（x）在（c，1）递增；
在（0，c），（1，+∞）递减；
（3）若c＞1时，可得f（x）-g（x）在（1，c）递增；
在（0，1），（c，+∞）递减．
即有f（x）-g（x）的极大值M（c）=4c-$\frac{2}{1+c}$•c²-$\frac{4c}{1+c}$lnc，
极小值N（c）=4-$\frac{2}{1+c}$-$\frac{4c}{1+c}$ln1=$\frac{2+4c}{1+c}$，
则h（c）=M（c）-N（c）-$\frac{a}{c+1}$=$\frac{2{c}^{2}+4c}{1+c}$-$\frac{4c}{1+c}$lnc-$\frac{2+4c}{1+c}$-$\frac{a}{c+1}$，
令h（c）=0，可得a=2c²-4clnc-2，设m（c）=2c²-4clnc-2，c＞1，
可得m′（c）=4c-4（1+lnc）=4（c-1-lnc），
由c-1-lnc的导数为1-$\frac{1}{c}$，由c＞1可得1-$\frac{1}{c}$＞0，即有c-1-lnc＞0，
即m′（c）＞0，可得m（c）＞m（1）=0，
则当a≤0时，a=2c²-4clnc-2无解；
当a＞0时，a=2c²-4clnc-2一解．
综上可得，当a≤0时，函数h（c）无零点；
当a＞0时，函数h（c）有一个零点．

点评 本题考查导数的运用：求切线的方程和单调区间、极值，考查函数的单调性，注意运用分类讨论的思想方法，考查函数零点的个数问题的解法，注意运用转化思想，构造函数法，考查化简整理的运算能力，属于中档题．