Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，a₁=1，且3a_n+1+2S_n=3（n为正整数）
（Ⅰ）求出数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）若对任意正整数n，k≤S_n恒成立，求实数k的最大值．

Answer 1

（Ⅰ）∵3a_n+1+2S_n，①
∴当n≥2时，3a_n+2S_n-1=3．②
由 ①-②，得3a_n+1-3a_n+2a_n=0．
∴

an+1

an

=

1

3

，n≥2．
又∵a₁=1，3a₂+2a₁=3，解得 a2=

1

3

．
∴数列{a_n}是首项为1，公比为q=

1

3

的等比数列．
∴an=a1qn-1=(

1

3

)n-1，（n为正整数）．…（7分）
（Ⅱ）∵数列{a_n}是首项为1，公比为q=

1

3

的等比数列，
∴Sn=

1×(1- 1 3 n )

1- 1 3

=

3

2

(1-

1

3 n

)，
由题意可知，对于任意的正整数n，恒有k≤

3

2

(1-

1

3 n

)，
∵数列{1-

1

3 n

}单调递增，当n=1时，数列中的最小项为

2

3

，即

3

2

(1-

1

3 n

)≥1
∴必有k≤1，即实数k的最大值为1．…（14分）