Question

16．设函数f（x）=$\frac{{a}^{2x}+{a}^{-2x}-1}{{a}^{x}+{a}^{-x}}$（a＞1）．
（1）设t=a^x+a^-x，将f（x）用t表示为g（t）；
（2）判断y=f（x）在（-∞，0]与[0，+∞）上的单调性；
（3）当x∈[-1，1]时，f（x）∈[$\frac{1}{2}$，2]，求实数a的值．

Answer 1

分析 （1）可知t=a^x+a^-x≥2，从而可得a^2x+a^-2x=t²-2，从而解得；
（2）由复合函数的单调性可判断函数的单调性；
（3）由（2）知，y=f（x）在[-1，0]上是减函数，在[0，1]上是增函数；从而可得$\frac{{a}^{2}+{a}^{-2}-1}{a+{a}^{-1}}$=2，从而解得．

解答 解：（1）∵t=a^x+a^-x≥2，
∴a^2x+a^-2x=（a^x+a^-x）²-2=t²-2，
故g（t）=$\frac{{t}^{2}-2-1}{t}$=$\frac{{t}^{2}-3}{t}$；
（2）t=a^x+a^-x在（-∞，0]上是减函数，在[0，+∞）上是增函数；
g（t）=$\frac{{t}^{2}-3}{t}$在[2，+∞）上是增函数；
故y=f（x）在（-∞，0]上是减函数，在[0，+∞）上是增函数；
（3）由（2）知，y=f（x）在[-1，0]上是减函数，在[0，1]上是增函数；
f（0）=$\frac{2-1}{2}$=$\frac{1}{2}$，
f（-1）=$\frac{{a}^{2}+{a}^{-2}-1}{a+{a}^{-1}}$，f（1）=$\frac{{a}^{2}+{a}^{-2}-1}{a+{a}^{-1}}$，
故$\frac{{a}^{2}+{a}^{-2}-1}{a+{a}^{-1}}$=2，
故a+a^-1=3，
解得，a=$\frac{3+\sqrt{5}}{2}$或a=$\frac{3-\sqrt{5}}{2}$（舍去）；
故a=$\frac{3+\sqrt{5}}{2}$．

点评 本题考查了函数的单调性的判断与复合函数的应用．